1. Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 3 - 2i , z2 = - 3 + 5i , , z3 = e-1+πi und z4 = e1+$\scriptstyle {\frac{{\pi}}{{4}}}$i 1.1. Geben Sie die Eulersche Darstellung von z1 und z2 , sowie die kartesische Darstellung von z3 und z4 an.4 1.2. Berechnen Sie: $\textstyle \parbox{5.8cm}{\begin{displaymath}z_3^4 \quad , \quad \frac{z_1 \cdo... ...d , \quad \left( z_4 \frac{z_1^3}{z_3 \cdot z_2} \right) ^5 \end{displaymath}}$.

Die Ergebnisse sind in der Eulerschen Darstellung anzugeben.8

2. Zur Kopplung zweier aufeinanderfolgender Stufen eines NF-Verstärkers verwendet man häufig eine Serienschaltung eines Kondensators und eines ohmschen Widerstandes. Von der vorhergehenden Verstärkerstufe wird die Wechselspannung U(t) geliefert. Die Teilspannung UΩ(t) wird an die nachfolgende Stufe weitergegeben.

2.1 Fertigen Sie ein Zeigerdiagramm an, das die Zeiger I(t) , UC(t) , UΩ(t) und U(t) enthält! Beginnen Sie dabei mit I(t). Tragen Sie dann die Zeiger für UΩ(t) und UC(t) unter Berücksichtigung der Phasenverschiebung ein und konstruieren Sie zuletzt U(t)! 3

2.2 Berechnen Sie den komplexen Gesamtwiderstand der Serienschaltung von RΩ und RC, wenn ω die Kreisfrequenz ist! 2

2.3 Berechnen Sie | R|. 2

2.4 Drücken Sie tanδ durch RΩ , C und ω aus. 2

2.5 Es sei $\textstyle \parbox{6.8cm}{\begin{displaymath}R_\Omega=10^3\Omega \, ,\, C=10^{-5} \frac{As}{V} \mbox{ und } \omega=10^2s^{-1}.\end{displaymath}}$ Die Scheitelspannung der Wechselspannung U(t) sei 1V. Berechnen Sie die Scheitelspannung von UΩ(t)! Geben Sie außerdem δ an!4

3. Stellen Sie die Schwingung mit f (t) = cos t + 2 sin$\left(\vphantom{ t + \frac{\pi}{6} }\right.$t + ${\frac{{\pi}}{{6}}}$$\left.\vphantom{ t + \frac{\pi}{6} }\right)$ durch eine reine Sinusschwingung dar! Fertigen Sie zunächst ein geeignetes Zeigerdiagramm an, und bestimmen Sie dann die Amplitude und die Phasenverschiebung der reinen Sinusschwingung!6

4. In der Physik zeigt man, daß man einen idealen Schwingkreis durch die Differentialgleichung $\textstyle \parbox{2.8cm}{ \begin{displaymath}L\ddot{Q}(t) + \frac{Q(t)}{C}= 0\end{displaymath}}$ und durch die Differentialgleichung $\textstyle \parbox{4.4cm}{ \begin{displaymath}L\ddot{Q}(t) + R\dot{Q}(t) + \frac{Q(t)}{C}= 0\end{displaymath}}$ einen realen Schwingkreis beschreiben kann.

4.1 Bestimmen Sie mit Hilfe des Lösungsansatzes Q(t) = Q0eiωt die Kreisfrequenz ω0 des idealen und die Kreisfrequenz ω1 des realen Schwingkreises. 8

4.2 Vergleichen Sie die Kreisfrequenzen ω0 und ω1 der beiden Schwingkreise! 2 41